Come calcolare le combinazioni su Excel

In questa lezione ti spiego come si calcolano le combinazioni sul foglio Excel

Cosa sono le combinazioni? Se hai un insieme di n elementi, puoi calcolare in quanti gruppi da k elementi (detta classe) puoi raggrupparli. Il numero dei raggruppamenti è detto combinazione $$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ Ad esempio, se in un campionato ci sono 4 squadre di calcio, il numero dei raggruppamenti per k=2 individua il numero delle partite da giocare per far incontrare tutte le squadre tra loro. $$ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 $$

Su Excel puoi calcolare le combinazioni con la funzione

=COMBINAZIONE(n,k)

Questa funzione ha due parametri:

  • Il primo parametro (n) è il numero di elementi dell'insieme
  • Il secondo elemento (k) è la classe, ossia il numero degli elementi nei gruppi in cui vuoi dividere l'insieme

Ti faccio un esempio pratico.

Digita il numero n=4 nella cella B2 e la classe k=2 nella cella B3

digita i numeri 4 e 2 nelle celle B2 e B3

Poi inserisci la funzione =COMBINAZIONE(B2;B4) nella cella B5 e dai invio.

digita =COMBINAZIONE(B2;B3)

La funzione COMBINAZIONE(4;2) calcola il numero delle combinazioni di sei elementi (n=6) in due gruppi (k=2).

In questo caso sono 6 combinazioni.

le cominazioni sono 6

Verifica. Immagina di avere un insieme con quattro lettere {A,B,C,D}. In quanti gruppi da due elementi puoi combinare le lettere tra loro? Per saperlo calcola il numero delle combinazioni con n=4 e k=2. $$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 $$ Facendo una rapida verifica puoi vedere che sono effettivamente 6 combinazioni: AB , AC , AD , BC , BD , CD. Questo tipo di combinazione è detta combinazione semplice perché in ogni gruppo non devono esserci gli stessi elementi ripetuti.

Le combinazioni con ripetizione

Il foglio Excel ti permette anche di calcolare le combinazioni con ripetizione.

Cosa sono le combinazioni con ripetizione? Sono combinazioni che includono anche la ripetizione di uno stesso elemento nei raggruppamenti. $$ \begin{pmatrix} n + k - 1 \\ k \end{pmatrix} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $$ Questa formula si utilizza per calcolare le combinazioni quando nell'insieme ci sono elementi ripetuti, ossia due o più elementi uguali (es. due palline rosse in un'urna contenente palline colorate).

Per calcolare le combinazioni con ripetizione su Excel devi usare una funzione diversa dalla precedente

=COMBINAZIONE.VALORI(n,classe)

Anche questa funzione ha due parametri:

  • Il primo parametro (n) è il numero totale degli elementi dell'insieme
  • Il secondo elemento (k) è la classe, ossia il numero degli elementi nei raggruppamenti

Ti faccio un esempio pratico, riprendi l'esempio precedente con n=4 e k=2

Le combinazioni semplici (senza ripetizione) le hai già calcolate, sono 6 combinazioni.

le combinazioni semplici sono 6

Nella cella B6 inserisci la funzione =COMBINAZIONE.VALORI(B2;B3)

inserisci la funzione =COMBINAZIONE.VALORI(B2;B3) nella cella B6

Questa funzione calcola il numero delle combinazioni con ripetizione.

In questo caso sono 10 combinazioni con ripetizione.

le combinazioni con ripetizione sono 10

Verifica. Hai un insieme con quattro lettere {A,B,C,D}. In quanti gruppi da due elementi che ammettono anche elementi ripetuti dello stesso tipo (es. AA, BB,...) puoi combinare le lettere tra loro? Per saperlo devi calcolare il numero delle combinazioni con ripetizione con n=4 e k=2. $$ \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \frac{(4+2-1)!}{2!(4-1)!} = \frac{5!}{2 \cdot 3!} = \frac{120}{12} = 10 $$ Facendo un rapido controllo puoi verificare che sono effettivamente 10 combinazioni: AA, AB , AC , AD , BB, BC , BD , CC, CD. DD. Questo tipo di combinazione è detta combinazione con ripetizioni perché in ogni gruppo potrebbero esserci anche gli stessi elementi ripetuti ( ad esempio AA, BB, CC, DD ).

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