La matrice inversa su Excel

In questa lezione ti spiego come calcolare la matrice inversa di una matrice usando Excel.

Cos'è la matrice inversa? La matrice inversa M^-1 di una matrice M è una matrice tale che il prodotto delle due matrici è una matrice identità $$ M \cdot M^{-1} = I $$ Ad esempio $$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ La matrice identità è una matrice con gli elementi uguali a 1 sulla diagonale principale e 0 altrove.

Ti faccio un esempio pratico

Crea una matrice 2x2 con due righe e due colonne su Excel

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

Digita gli elementi della matrice nell'area B2:C3 del foglio Excel

Ora digita la funzione =MATR.INVERSA(B2:C3) nella cella B5 per calcolare la matrice inversa della matrice.

La funzione calcola e visualizza la matrice inversa a partire dalla cella B5.

Hai ottenuto la matrice inversa di M

$$ M^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} $$

Come si fa a capire se il risultato è corretto?

Per verificare se i calcoli di Excel sono giusti, moltiplica la prima matrice M per la sua matrice inversa M^-1.

Se il prodotto delle due matrici M·M^.1 è una matrice identità il risultato è corretto.

$$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} $$

Nota. Non occorre verificare il risultato ogni volta che calcoli una matrice inversa sul foglio Excel. In questo esempio lo facciamo solo dimostrare che il calcolo fornito da Excel è corretto.

Digita la funzione =MATR.PRODOTTO(B2:C3;B5:C6) nella cella B8 per moltiplicare le due matrici tra loro.

Il prodotto delle due matrici è una matrice identità

E' quello che volevamo ottenere.

Excel ha calcolato correttamente la matrice inversa.

$$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Nota. Se vuoi puoi anche svolgere i calcoli a mano. Calcola il prodotto riga per colonna delle due matrici. $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot ( - \frac{1}{2}) & 2 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 \\ 1 \cdot \frac{3}{2} + 3 \cdot ( - \frac{1}{2}) & 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1\end{pmatrix} $$ $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 & -4 + 4 \\ \frac{3}{2} - \frac{3}{2} & -2 + 3 \end{pmatrix} $$ $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Il risultato finale è sempre lo stesso. Il prodotto delle due matrici è una matrice identità. La matrice inversa calcolata da Excel è corretta.

In questo modo puoi calcolare rapidamente su Excel la matrice inversa di qualsiasi matrice quadrata invertibile.