I numeri complessi in forma trigonometrica

In questa lezione ti spiego come trasformare un numero complesso dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Un numero complesso in forma trigonometrica si scrive in questo modo $$ z = r \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) $$ Dove r è il modulo del numero complesso mentre alfa è l'argomento.

Un esempio

Ti faccio un esempio pratico

Disegna il numero complesso z1=4+3i sul piano di Gauss.

le coordinate del numero complesso

Il numero complesso si trova alle coordinate (4,3) del piano.

Ora traccia un vettore che collega l'origine (O) con il punto (4,3) sul piano.

La lunghezza del vettore è il modulo del numero complesso.

il vettore v

L'angolo alfa tra il vettore e il semiasse reale positivo è l'argomento del numero complesso.

l'argomento del numero complesso

Ogni numero complesso del piano ha un modulo r e un argomento α.

Questa coppia di valori [r;α] indica le coordinate polari del numero complesso.

Come passare dalla forma algebrica a quella trigonometrica

Per passare dalla forma algebrica del numero complesso z=a+bi alla forma trigonometrica devi calcolare la lunghezza del modulo e l'angolo alfa dell'argomento.

il modulo e l'argomento del numero complesso

Il modulo puoi calcolarlo facilmente con il teorema di Pitagora.

Ad esempio, il numero complesso z1=4+3i forma un triangolo sul piano.

come calcolare il modulo del numero complesso

Il modulo è l'ipotenusa del triangolo mentre gli altri due lati (cateti) sono segmenti lunghi a=4 e b=3.

Secondo il teorema di Pitagora l'ipotenusa del triangolo è

$$ r = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 $$

Quindi il modulo del numero complesso è r=5

il modulo del numero complesso

Per trovare l'angolo alfa (argomento) devi usare la trigonometria.

Puoi calcolarlo tramite l'arcotangente del rapporto b/a ossia 3/4.

$$ \alpha = \arctan ( \frac{b}{a} ) $$

$$ \alpha = \arctan ( \frac{3}{4} ) = 36.87° $$

Quindi l'argomento del numero complesso è a=36.87°

l'argomento del numero complesso

Metti insieme queste due informazioni e ottieni le coordinate polari del numero complesso z1

$$ z_1 = [ \ r \ ; \ \alpha \ ] = [ \ 5 \ ; \ 36.87° \ ] $$

A questo punto, una volta noto il modulo r=5 e l'argomento α=36.87°, puoi scrivere il numero complesso in forma trigonometrica

$$ z_1 = r \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) $$

$$ z_1 = 5 \cdot ( \cos 36.87° + i \cdot \sin 36.87° ) $$

In conclusione, scrivere z1=4+3i oppure z1=5·[cos 36.87+i·sin 36.87°] è la stessa cosa.

Si tratta dello stesso numero complesso.

Come passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica

Se hai un numero complesso in forma trigonometrica

$$ z = 5 \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) $$

per tornare alla forma algebrica z=a+bi puoi usare queste due formule

$$ a= r \cdot \cos \alpha $$

$$ b= r \cdot \sin \alpha $$

Ad esempio se il modulo è r=5 e l'argomento è α=36.87°

$$ a= 5 \cdot \cos 36.87° = 4$$

$$ b= 5 \cdot \sin 36.87° = 3 $$

il numero complesso in forma algebrica si trova alle coordinate (a;b)=(3;4) ossia z1=3+4i.

Se questa lezione online di Nigiara ti piace, continua a seguirci.




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