La divisione dei numeri complessi

In questa lezione ti spiego come dividere due numeri complessi tramite un esempio pratico.

Il quoziente di due numeri complessi (a,b) e (c,d) è la coppia $$ \frac{(a,b)}{(c,d)} = ( \ \frac{ac+bd}{c^2+d^2} \ , \ \frac{bc-ad}{c^2+d^2} \ ) $$

Ti faccio un esempio pratico

Considera due numeri complessi z1 e z2

$$ z_1 = (4,5) $$

$$ z_2 = (2,3) $$

Dividi i due numeri complessi z1/z2 usando la precedente formula precedente.

$$ \frac{z_1}{z_2} = ( \ \frac{ac+bd}{c^2+d^2} \ , \ \frac{bc-ad}{c^2+d^2} \ ) $$

Sostituisci a=4 e b=5 nella formula poiché il dividendo è z1=(a,b)=(4,5).

$$ \frac{z_1}{z_2} = ( \ \frac{4 \cdot c+5 \cdot d}{c^2+d^2} \ , \ \frac{5 \cdot c-4 \cdot d}{c^2+d^2} \ ) $$

Poi sostituisci c=2 e d=3 in quanto il divisore è z2=(c,d)=(2,3)

$$ \frac{z_1}{z_2} = ( \ \frac{4 \cdot 2+5 \cdot 3}{2^2+3^2} \ , \ \frac{5 \cdot 2-4 \cdot 3}{2^2+3^2} \ ) $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = ( \ \frac{8+15}{4+9} \ , \ \frac{10-12}{4+9} \ ) $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = ( \ \frac{23}{13} \ , \ \frac{-2}{13} \ ) $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = ( \ 1.77 \ , \ -0.15 \ ) $$

Il quoziente dei due numeri complessi è il numero complesso (1.77,-0.15).

Puoi verificare il risultato su Geogebra, Matlab o altro.

il quoziente della divisione di due numeri complessi

Se non ricordi la formula della divisione puoi anche calcolare la divisione dei numeri complessi in un altro modo.

Trasforma i due numeri complessi in forma algebrica

$$ z_1 = (4,5) = 4+5i $$

$$ z_2 = (2,3) = 2+3i $$

Come scrivere un numero complesso in forma algebrica? Per scrivere un numero complesso (a,b) in forma algebrica devi sommare la parte reale e la parte immaginaria del numero. Ricorda che il primo elemento (a) della coppia (a,b) è la parte reale mentre il secondo elemento (b) è la parte immaginaria ed è sempre moltiplicato per l'unità immaginaria (i). $$ (a,b) = a+ b \cdot i $$

Per calcolare la divisione dei due numeri complessi in forma algebrica

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{4+5i}{2+3i} $$

moltiplica e dividi per il numero complesso coniugato del denominatore 2-3i

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{4+5i}{2+3i} \cdot \frac{2-3i}{2-3i} $$

Cos'è il coniugato di un numero complesso? Il coniugato di un numero complesso z=a+bi e un numero complesso che z'=a-bi che ha la stessa parte reale e il valore opposto della parte immaginaria. $$ z = a+bi $$ $$ z'=a-bi $$

Poi svolgi i calcoli usando le regole dell'algebra tradizionale

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(4+5i) \cdot (2-3i)}{(2+3i) \cdot (2-3i) } $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{8-12i+10i-15i^2}{4-6i+6i-9i^2} $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{8-2i-15i^2}{4-9i^2} $$

Il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1 è meno uno.

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{8-2i-15 \cdot (-1)}{4-9 \cdot (-1)} $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{8-2i+15}{4+9} $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{23-2i}{13} $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{23}{13} - \frac{2}{13} i $$

Il risultato della divisione è lo stesso

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{23}{13} - \frac{2}{13} i = ( \frac{23}{13} , - \frac{2}{13} ) = ( \ 1.77 \ , \ -0.15 \ ) $$

Se questa lezione di Nigiara sui numeri complessi ti piace, continua a seguirci.




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