La moltiplicazione dei numeri complessi

In questa lezione ti spiego come moltiplicare due numeri complessi tramite un esempio pratico

Il prodotto di due numeri complessi (a,b) e (c,d) è una coppia (ac-bd,ad+bc) $$ (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) $$

In pratica devi calcolare la differenza tra i prodotti dei primi elementi (gialli) e dei secondi elementi (arancioni).

spiegazione della formula della moltiplicazione dei numeri complessi

Poi sommare i prodotti dei primi elementi (gialli) per i secondi elementi (arancioni).

Ti faccio un esempio pratico.

$$ (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) $$

Considera due numeri complessi z1 e z2.

$$ z_1 = (3,4) $$ $$ z_2 = (2,5) $$

Moltiplica i due numeri tra loro usando la formula precedente.

$$ z_1 \cdot z_2 = (ac-bd, ad+bc) $$

I parametri sono a=3, b=4 perché z1=(a,b)=(3,4) e c=2, d=5 perché z2=(c,d)=(2,5).

$$ z_1 \cdot z_2 = (3 \cdot 2-4 \cdot 5, 3 \cdot 5+4 \cdot 2) $$

$$ z_1 \cdot z_2 = (6-20, 15+8) $$

$$ z_1 \cdot z_2 = (-14, 23) $$

Il prodotto dei due numeri complessi è (-14,23).

il prodotto di due numeri complessi

Se non ricordi la formula puoi anche calcolare la moltiplicazione dei numeri complessi in forma algebrica.

Trasforma i due numeri complessi in forma algebrica.

$$ z_1 = (3,4) = 3+4i $$ $$ z_2 = (2,5) = 2+5i $$

Nota. Per trasformare un numero complesso (a,b) in forma algebrica somma la parte reale e immaginaria del numero. Ricorda che il primo elemento di una coppia (a,b) è la parte reale mentre il secondo elemento è la parte immaginaria. $$ (a,b)=a+b \cdot i $$

Poi calcola il prodotto di binomi seguendo le regole algebriche tradizionali

$$ z_1 \cdot z_2 = (3+4i) \cdot (2+5i) $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 3 \cdot (2+5i) + 4i \cdot (2+5i) $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 6+15i + 8i+20i^2 $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 6+23i+20i^2 $$

Il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1 è meno uno.

Quindi sostituisci i2 con -1.

$$ z_1 \cdot z_2 = 6+23i+20 \cdot (-1) $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 6+23i-20 $$

$$ z_1 \cdot z_2 = -14+23i $$

Il risultato finale della moltiplicazione è sempre lo stesso -14+23i = (-14,23).

il prodotto di due numeri complessi in forma algebrica

Le proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione dei numeri complessi soddisfa

La proprietà commutativa

$$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

La proprietà associativa

$$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 $$

La proprietà distributiva rispetto all'addizione

$$ z_1 \cdot ( z_2 + z_3 ) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

L'elemento neutro della moltiplicazione è il numero (1,0).

Il prodotto di qualsiasi numero complesso (a,b) per (1,0) è sempre (a,b).

$$ (a,b) \cdot (1,0) = (a,b) $$

L'elemento assorbente della moltiplicazione è il numero (0,0)

Qualsiasi numero complesso (a,b) moltiplicato per (0,0) è uguale a (0,0).

$$ (a,b) \cdot (0,0) = (0,0) $$

Se questa lezione di Nigiara sui numeri complessi è utile, continua a seguirci.




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