La somma dei numeri complessi

In questa lezione ti spiego come fare l'addizione di due numeri complessi.

Per sommare due numeri complessi (a,b) e (c,d) devi sommare tra loro i rispettivi elementi della coppia a+c e b+d $$ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $$

In pratica devi sommare tra loro la parte reale (rossa) e la parte immaginaria (blu) dei due numeri complessi.

come fare la somma di due numeri complessi

Ti faccio un esempio pratico

Prendi due numeri complessi qualsiasi

$$ z_1 = (2,3) = 2+3i $$

$$ z_2 = (4,2) = 4+2i $$

Ecco i due numeri sul piano complesso

due numeri complessi di esempio

Somma la parte reale e la parte immaginaria dei numeri complessi tra loro.

$$ z_1 + z_2 = (2,3) + (4,2) = (2+4,3+2) = (6,5) $$

La somma dei due numeri complessi è il numero complesso (6,5) ossia 6+5i

la somma dei due vettori sul piano di Gauss

Dal punto di vista grafico la somma di due numeri complessi è uguale alla somma di due vettori sul piano.

Quindi, puoi calcolare la somma di due numeri complessi graficamente anche con il metodo del parallelogramma oppure con il metodo punta-coda.

la somma di due numeri complessi con il metodo del parallelogramma

Puoi fare la somma dei numeri complessi anche se sono rappresentati in forma algebrica

$$ z_1+z_2 = (2+3i)+(4+2i) $$

Devi semplicemente associare e sommare tra loro la parte reale e la parte immaginaria dei due numeri complessi.

$$ z_1+z_2 = (2+3i)+(4+2i) = (2+4)+(3i+2i) = 6+5i $$

Il risultato è lo stesso.

Nota. Se la parte immaginaria dei due numeri è nulla, la somma dei due numeri complessi è semplicemente una somma di due numeri reali. $$ z_1+z_2=(a,0)+(b,0)=(a+b,0+0) = (a+b,0) = a+b $$ Ad esempio, questi due numeri complessi hanno soltanto la parte reale. $$ z_1=(4,0) \\ z_2=(2,0) $$ La loro somma è un numero complesso dello stesso tipo perché ha soltanto la parte reale. $$ z_1+z_2=(4,0)+(2,0)=(4+2,0+0) = (6,0) $$ E' una semplice somma tra numeri reali. Sia i due numeri complessi z1 e z2 che la loro somma z1+z2 si trovano sull'asse reale del piano complesso.
la somma di due numeri reali senza parte immaginaria

Le proprietà dell'addizione tra i numeri complessi

L'operazione di addizione dei numeri complessi beneficia della proprietà commutativa e distributiva.

  1. La proprietà commutativa
    Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia $$ z_1 + z_2 = z_2 + z_1 $$
  2. La proprietà associativa
    Puoi associare la somma dei numeri complessi in vari modi$$ (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2+z_3) = z_2 + (z_1+z_3) $$
  3. L'elemento neutro
    L'elemento neutro dell'addizione dei numeri complessi è il numero complesso zero (0,0)$$ z_1 + 0 = (a,b) + (0,0) = (a+0,b+0) = (a,b) $$

Se questa lezione di Nigiara è utile e ti piace, continua a seguirci.




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