Numeri complessi
In questa lezione ti spiego cosa sono i numeri complessi.
I numeri complessi sono coppie ordinate di numeri reali a e b che soddisfano alcune regole nelle operazioni addizione e moltiplicazione. $$ z = (a,b) $$
Il primo elemento della coppia (a,b) è detto parte reale del numero complesso.
$$ a = Re(z) $$
Il secondo elemento della coppia (a,b) è detto parte immaginaria del numero complesso.
$$ b = Im(z) $$
L'insieme dei numeri complessi è indicato con la lettera C.
Perché si studiano i numeri complessi?L'insieme dei numeri complessi è molto più grande dell'insieme dei numeri reali. I numeri complessi ti permettono di svolgere calcoli che non potresti fare con i numeri reali. Ad esempio, con i numeri complessi puoi calcolare anche la radice di numero negativo.
In questa lezione introduttiva ti spiego le prime nozioni utili per capire cosa sono i numeri complessi.
Il piano complesso
Per capire meglio i numeri complessi, considera ogni punto (x,y) del piano cartesiano come un numero complesso.
Ogni numero complesso z è un punto (x,y) del piano e viceversa.
L'asse orizzontale del piano indica la parte reale (Re) mentre l'asse verticale indica la parte immaginaria (Im) del numero complesso z=(a,b).
Nota. Il piano cartesiano usato per rappresentare i numeri complessi è detto piano complesso o piano di Gauss.
Ti faccio un esempio pratico.
Il punto (2,3) è un numero complesso z=(2,3).
In questo caso la parte reale del numero complesso z=(2,3) è uguale a 2.
$$ Re(z) = 2 $$
La parte immaginaria del numero complesso z=(2,3) è uguale a 3.
$$ Im(z) = 3 $$
Ti faccio un altro esempio.
Il punto (-1,2) è un altro numero complesso z=(-1,2).
In questo caso la parte reale del numero complesso è -1 mentre la parte immaginaria è 2.
$$ Re(z) = -1 $$
$$ Im(z) = 2 $$
Le operazioni con i numeri complessi
Nell'insieme dei numeri complessi sono definite operazioni di addizione e moltiplicazione diverse rispetto ai numeri reali.
L'addizione dei numeri complessi
Per sommare due numeri complessi devi sommare le loro componenti.
$$ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $$
Ad esempio, la somma dei numeri complessi (2,3) e (-1,4) è la seguente
$$ (2,3)+(-1,4) = (2-1,3+4) = (1,7) $$
La moltiplicazione dei numeri complessi
Per moltiplicare due numeri complessi, invece, devi applicare questa regola particolare
$$ (a,b) \cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) $$
Ad esempio, il prodotto dei numeri complessi (2,3) e (-1,4) è il seguente
$$ (2,3) \cdot (-1,4) $$ $$ = (2 \cdot (-1))- 3 \cdot 4 \ , \ 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1)) $$ $$ = (-2- 12 \ , \ 8 -3) $$ $$ = (-14,5) $$
Puoi anche dividere i numeri complessi.
I numeri complessi in forma algebrica
I numeri complessi hanno diverse rappresentazioni: algebrica, trigonometrica, esponenziale.
Per il momento ti parlo soltanto del numero complesso in forma algebrica.
$$ z = (a,b) = a + bi $$
La lettera i è l’unità immaginaria ed è uguale alla coppia di numeri reali (0,1)
$$ i = (0,1) $$
Qualsiasi punto del piano (a,b) puoi scriverlo anche in forma algebrica
Ad esempio, il numero complesso z=(2,3) puoi scriverlo in forma algebrica z=2+3i
$$ z = (2,3) = 2 + 3i $$
E' sempre lo stesso numero complesso ma rappresentato in modo diverso.
Il numero complesso z=(-1,2) puoi scriverlo in forma algebrica z=-1+2i
Se questa lezione introduttiva di Nigiara sui numeri complessi ti piace, continua a seguirci.
