Numeri complessi

In questa lezione ti spiego cosa sono i numeri complessi.

I numeri complessi sono coppie ordinate di numeri reali a e b che soddisfano alcune regole nelle operazioni addizione e moltiplicazione. $$ z = (a,b) $$

Il primo elemento della coppia (a,b) è detto parte reale del numero complesso.

$$ a = Re(z) $$

Il secondo elemento della coppia (a,b) è detto parte immaginaria del numero complesso.

$$ b = Im(z) $$

L'insieme dei numeri complessi è indicato con la lettera C.

Perché si studiano i numeri complessi?L'insieme dei numeri complessi è molto più grande dell'insieme dei numeri reali. I numeri complessi ti permettono di svolgere calcoli che non potresti fare con i numeri reali. Ad esempio, con i numeri complessi puoi calcolare anche la radice di numero negativo.

In questa lezione introduttiva ti spiego le prime nozioni utili per capire cosa sono i numeri complessi.

Il piano complesso

Per capire meglio i numeri complessi, considera ogni punto (x,y) del piano cartesiano come un numero complesso.

Ogni numero complesso z è un punto (x,y) del piano e viceversa.

il piano di Gauss

L'asse orizzontale del piano indica la parte reale (Re) mentre l'asse verticale indica la parte immaginaria (Im) del numero complesso z=(a,b).

Nota. Il piano cartesiano usato per rappresentare i numeri complessi è detto piano complesso o piano di Gauss.

Ti faccio un esempio pratico.

Il punto (2,3) è un numero complesso z=(2,3).

un esempio di numero complesso sul piano

In questo caso la parte reale del numero complesso z=(2,3) è uguale a 2.

$$ Re(z) = 2 $$

La parte immaginaria del numero complesso z=(2,3) è uguale a 3.

$$ Im(z) = 3 $$

Ti faccio un altro esempio.

Il punto (-1,2) è un altro numero complesso z=(-1,2).

il numero complesso (-1,2) sul piano complesso di Gauss

In questo caso la parte reale del numero complesso è -1 mentre la parte immaginaria è 2.

$$ Re(z) = -1 $$

$$ Im(z) = 2 $$

Le operazioni con i numeri complessi

Nell'insieme dei numeri complessi sono definite operazioni di addizione e moltiplicazione diverse rispetto ai numeri reali.

L'addizione dei numeri complessi

Per sommare due numeri complessi devi sommare le loro componenti.

$$ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $$

Ad esempio, la somma dei numeri complessi (2,3) e (-1,4) è la seguente

$$ (2,3)+(-1,4) = (2-1,3+4) = (1,7) $$

La moltiplicazione dei numeri complessi

Per moltiplicare due numeri complessi, invece, devi applicare questa regola particolare

$$ (a,b) \cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) $$

Ad esempio, il prodotto dei numeri complessi (2,3) e (-1,4) è il seguente

$$ (2,3) \cdot (-1,4) $$ $$ = (2 \cdot (-1))- 3 \cdot 4 \ , \ 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1)) $$ $$ = (-2- 12 \ , \ 8 -3) $$ $$ = (-14,5) $$

Puoi anche dividere i numeri complessi.

I numeri complessi in forma algebrica

I numeri complessi hanno diverse rappresentazioni: algebrica, trigonometrica, esponenziale.

Per il momento ti parlo soltanto del numero complesso in forma algebrica.

$$ z = (a,b) = a + bi $$

La lettera i è l’unità immaginaria ed è uguale alla coppia di numeri reali (0,1)

$$ i = (0,1) $$

Qualsiasi punto del piano (a,b) puoi scriverlo anche in forma algebrica

il numero complesso in forma algebrica nel piano di Gauss

Ad esempio, il numero complesso z=(2,3) puoi scriverlo in forma algebrica z=2+3i

$$ z = (2,3) = 2 + 3i $$

E' sempre lo stesso numero complesso ma rappresentato in modo diverso.

la rappresentazione del numero complesso sul piano di Gauss

Il numero complesso z=(-1,2) puoi scriverlo in forma algebrica z=-1+2i

il numero (-1,2) in forma algebrica

Se questa lezione introduttiva di Nigiara sui numeri complessi ti piace, continua a seguirci.




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