Come calcolare un integrale indefinito su Matlab
In questa lezione online ti spiego come si calcolano gli integrali indefiniti su Matlab.
Cosa sono gli integrali indefiniti? In analisi matematica sono l'operazione inversa della derivata. Un integrale indefinito è una funzione che quando la integri restituisce un'altra funzione F(x) detta funzione primitiva o antiderivata della funzione originale. $$ \int f(x) \ dx = F(x)+c $$ Dove c è una costante qualsiasi. L'integrale indefinito si indica con il simbolo ∫ e si legge "integrale di". In inglese si chiama "indefinite integral". In altre parole, un integrale indefinito di una funzione f(x) è una funzione F(x) tale che la derivata di F(x)+c è uguale a f(x). $$ \frac{d \ F(x)+x}{dx} = f(x) $$
L'integrale di un polinomio
Per calcolare l'integrale di una funzione polinomiale su Matlab puoi usare la funzione
polyint(P)
Il parametro della funzione è un array con i coefficienti numerici del polinomio in ordine di grado.
Ti faccio un esempio pratico
Considera questo polinomio
$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$
Definisci una variabile array dove inserire tutti i coefficienti numerici del polinomio a partire dall'esponente più alto dell'incognita.
>> P = [2 0 4 3]
Nota. Se non capisci quest'ultimo passaggio leggi prima la lezione su come si definisce un polinomio su Matlab.
Per calcolare l'integrale indefinito (antiderivata) del polinomio usa la funzione polyint()
>> polyint(P)
La funzione calcola i coefficienti numerici della funzione primitiva.
ans =
0.50000 0.00000 2.00000 3.00000 0.00000
Questo vuol dire che l'integrale indefinito del polinomio è
$$ \int 2x^3 + 4x+3 \ dx = \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + 3x + c $$
La costante c alla fine va aggiunta a mano.
Verifica. Per calcolare l'integrale di un polinomio ti basta applicare la proprietà additiva degli integrali. L'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. $$ \int 2x^3 + 4x+3 \ dx $$ $$ \int 2x^3 \ dx + \int 4x \ dx + \int 3 \ dx $$ In questo modo puoi risolvere i singoli integrali elementari uno a uno. $$ \frac{1}{2}x^4 + 2x^2 + 3x + c $$ Ricorda di aggiungere la costante c alla fine.
L'integrale di una funzione
Per calcolare l'integrale di una funzione matematica qualsiasi su Matlab puoi usare la funzione int
int(f,dx)
La funzione ha due parametri
- Il primo parametro f è l'espressione matematica della funzione con le variabili incognite definite in simboli.
- Il secondo parametro dx è la variabile di integrazione.
Nota. Se non indichi il secondo parametro la funzione considera di default la variabile x. La funzione int() si basa sul calcolo simbolico. Quindi, devi definire le incognite come simboli usando l'istruzione syms.
Ti faccio un esempio pratico
Considera l'integrale indefinito della funzione f(x)=1/x
$$ \int \frac{1}{x} \ dx $$
Definisci il simbolo della variabile incognita x tramite la funzione syms
>> syms x
Poi calcola l'integrale indefinito dell'espressione 1/x usando la funzione int()
>> int(1/x)
Il risultato è l'antiderivata della funzione f=1/x
ans = log(x)
L'integrale indefinito della funzione f=1/x è log(x)
$$ \int \frac{1}{x} \ dx = \log(x) + c $$
Anche in questo caso la costante (c) è considerata implicita e devi aggiungerla a mano.
E nel caso di una funzione con due o più variabili?
In questo caso ti conviene indicare anche la variabile di integrazione.
Ti faccio un esempio pratico, considera l'integrale di una funzione con due variabili. Ad esempio f(x,y)=x2y2
$$ \int x^2y^2 \ dy $$
In questo caso la variabile di integrazione è la y
Definisci i simboli delle due variabili
syms x y
Poi calcola l'integrale rispetto alla variabile y
Indica la variabile y nel secondo parametro della funzione int().
>> int(x^2*y^2,y)
Il risultato è la funzione primitiva
(x^2*y^3)/3
Quindi, la soluzione dell'integrale indefinito è
$$ \int x^2y^2 \ dy = \frac{x^3y^3}{3} $$
In questo modo puoi calcolare qualsiasi integrale indefinito su Matlab.
