Gli integrali definiti su Matlab
In questa lezione ti spiego come calcolare l'integrale definito di una funzione matematica su Matlab.
Cos'è l'integrale definito? L'integrale definito ti permette di calcolare l'area compresa tra una funzione f(x), detta funzione integranda, e l'asse orizzontale delle ascisse (x) in un determinato intervallo (a,b). Si indica con la notazione $$ \int_a^b f(x) \ dx $$
Per risolvere gli integrali definiti puoi usare due funzioni di Matlab.
La funzione int()
Per calcolare l'integrale definito di una funzione puoi usare la funzione int() di Matlab
int(funzione, a,b)
La funzione ha tre parametri
- Il primo parametro è l'espressione della funzione integranda f(x)
- Il secondo parametro è l'estremo inferiore di integrazione (a)
- Il secondo parametro è l'estremo superiore di integrazione (b)
Nota. La funzione int() si basa sul calcolo simbolico. Prima di scrivere l'espressione della funzione integranda devi definire la variabile incognita come simbolo tramite la funzione syms.
Ti faccio un esempio pratico.
Considera l'integrale elementare
$$ \int_1^2 2x \ dx $$
In questo caso la funzione integranda è f(x)=2x e l'intervallo di integrazione è (1,2)
Per prima cosa devi definire il simbolo della variabile di integrazione (x) tramite la funzione syms.
syms x
Ora digita il comando int() inserendo come primo parametro la funzione 2*x
Inserisci come secondo parametro l'estremo inferiore 1 e come terzo parametro l'estremo superiore 3 dell'intervallo di integrazione (1,2).
int(2*x,1,2)
Il risultato è l'integrale definito di 2x nell'intervallo (1,3)
ans = 3
In questo caso l'integrale definito è uguale a 3
Verifica. L'integrale di 2x nell'intervallo (1,3) è molto semplice da calcolare. La funzione primitiva di f(x)=2x è F(x)=x2 $$ \int_1^2 2x \ dx = [ x^2]_1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 $$ Se analizzi la funzione sul diagramma cartesiano puoi notare che il risultato dell'integrale definito ∫12 2x dx è l'area compresa tra il grafico della funzione f(x)=2x e l'asse x nell'intervallo (1,2).
La funzione quad()
Per calcolare l'integrale definito di una funzione puoi usare anche la funzione quad() di Matlab
quad(funzione, a,b)
Ad esempio, considera l'integrale del paragrafo precedente
$$ \int_1^2 2x \ dx $$
La funzione integranda è f(x)=2x e l'intervallo di integrazione è (1,2)
Definisci la funzione anonima
>> f = @(x) 2*x
Poi utilizza la funzione quad(f,1,2) per calcolare l'integrale definito nell'intervallo di integrazione da 1 a 2.
>> quad(f,1,2)
La funzione quad calcola una stima dell'area sotto il grafico della funzione f(x)=2x nell'intervallo (1,2).
ans=3
L'integrale definito è uguale a 3.
Nota. E' lo stesso risultato ottenuto nell'esempio precedente. $$ \int_1^2 2x \ dx = [ x^2]_1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 $$
Qual è la differenza tra le funzioni int e quad?
In MATLAB, le funzioni int() e quad() sono utilizzate per calcolare l'integrale definito di una funzione, ma si basano su metodi diversi.
- La funzione int() risolve gli integrali definiti di funzioni di una variabile, sia definite a mano che in forma simbolica, usando metodi di risoluzione numerici come ad esempio la formula di trapezio.
- La funzione quad() risolve gli integrali definiti usando un metodo di quadratura adattativo basato sull'algoritmo di Gauss-Kronrod. E' un altro metodo di risoluzione numerico. Generalmente, richiede meno chiamate alla funzione da integrare rispetto agli altri metodi numerici.
Ora hai una panoramica abbastanza completa sul calcolo degli integrali tramite Matlab.
