Le operazioni del calcolo vettoriale su Octave

In questa lezione ti spiego come svolgere le principali operazioni del calcolo vettoriale su Octave tramite qualche esempio pratico.

Definisci un vettore colonna nello spazio a 3 dimensioni.

>> v=[1; 3; 4;]

Poi definisci un altro vettore colonna nello stesso spazio

>> w=[2; 1; -1]

Ecco qualche operazione matematica tra i due vettori

La somma di due vettori

Per sommare i due vettore scrivi v+w

>> v+w
ans =
3
4
3

Spiegazione. $$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

La differenza tra due vettori

Per sottrarre i due vettori, invece, digita v-w

>> v-w
ans =
-1
2
5

Spiegazione. $$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

La moltiplicazione tra due vettori

Essendo due vettori colonna, per moltiplicare i due vettori tra loro devi trasformare uno dei due vettori in un vettore riga tramite una trasposizione.

Per trasporre un vettore su Octave basta aggiungere un apice a destra del nome.

>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

Spiegazione. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

Poiché la moltiplicazione tra vettori non rispetta la proprietà commutativa, la moltiplicazione v'*w restituisce un risultato diverso.

>> v'*w
ans = 1

Spiegazione. $$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

La moltiplicazione del vettore elemento per elemento

E' un altro tipo di moltiplicazione vettoriale. Calcola il prodotto tra gli elementi che occupano la stessa posizione.

Per fare questo tipo di moltiplicazione devi usare il simbolo .*

>> v*w
ans =
2
3
-4

Nella moltiplicazione elemento per elemento i due vettori devono essere entrambi vettori riga (o entrambi vettori colonna) e avere la stessa dimensione.

Spiegazione. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

La moltiplicazione del vettore per uno scalare

Per moltiplicare un vettore con un numero scalare, ad esempio k=2, invece ti basta scrivere 2*v

>> 2*v
ans =
2
6
8

Spiegazione. $$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

La divisione del vettore per uno scalare

Allo stesso modo puoi dividere il vettore per uno scalare

>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0

Spiegazione. $$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

In questi esempi ho usato dei vettori colonna ma le indicazioni sono valide anche se usi dei vettori riga.

La divisione del vettore elemento per elemento

E' un altro tipo di divisione tra due vettori. Calcola il quoziente degli elementi con la stessa posizione.

Per fare questo tipo di moltiplicazione devi usare il simbolo ./

>> v./v
ans =
0.5
3
-4

Nella divisione elemento per elemento i due vettori devono essere entrambi vettori riga (o entrambi vettori colonna) e avere la stessa dimensione.

Spiegazione. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Elevamento a potenza del vettore elemento per elemento

L'elevamento a potenza elemento per elemento eleva gli elementi del vettore per uno stesso esponente.

Per fare questo tipo di operazione devi usare il simbolo .^

>> v.^2
ans =
1
9
16

Nell'elevamento a potenza elemento per elemento i due vettori devono essere entrambi vettori riga (o entrambi vettori colonna) e avere la stessa dimensione.

Spiegazione. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$

Se questa lezione di Nigiara sul calcolo vettoriale su Octave ti piace, continua a seguirci.




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